8. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90° и ∠A=30°, проведена медиана СМ и биссектриса MD ДСМА. Найдите MD, если ВС=23см.

Дано: В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90° и ∠A=30°, проведена медиана СМ и биссектриса MD ∠DMA. Найдите MD, если ВС=23см. Решение: 1. В прямоугольном треугольнике ABC, катет BC, лежащий напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы AB. AB = 2*BC = 2*23 = 46 (см) 2. Медиана CM, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Значит, CM = AB/2 = 46/2 = 23 (см). Следовательно CM = BC = 23 см. 3. Т.к. CM = BC, то треугольник BMC - равнобедренный. угол MBC = 90 - 30 = 60 градусов. Тогда угол CMB = углу СBM = (180 - 60)/2 = 60 градусов. Значит треугольник BMC - равносторонний, и BM = MC = BC. 4. Угол BCA = 90 градусов, медиана CM делит гипотенузу AB пополам, поэтому AM = CM, и треугольник AMC - равнобедренный. Угол MAC = 30 градусов. Тогда угол AMC = 180 - 2*30 = 120 градусов. 5. Биссектриса MD делит угол CMA пополам. Поэтому угол CMD = 120/2 = 60 градусов. А угол DMA = 60 градусов. 6. Рассмотрим треугольник MCD. Угол MCD = углу MCA - углу BCM = 30 градусов. Угол MDC = 180 - 60 - 30 = 90 градусов. Значит треугольник MCD - прямоугольный. Но это невозможно, поскольку MD - биссектриса угла CMA. По теореме синусов: \frac{MD}{\sin \angle MCD} = \frac{MC}{\sin \angle MDC} \frac{MD}{\sin 30} = \frac{23}{\sin 90} MD = \frac{23 * \sin 30}{\sin 90} MD = \frac{23 * 0.5}{1} MD = 11.5 Ответ: MD = 11.5 см