6. ∠C = 90°, PC = CM, CA = 8 см. Найти MP.

Рассмотрим треугольник PCM. Из условия задачи известно, что \(\angle C = 90^\circ\) и PC = CM. Следовательно, треугольник PCM - прямоугольный и равнобедренный. Так как PC = CM, то углы ∠CPM и ∠CMP равны. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, \[\angle CPM + \angle CMP + \angle PCM = 180^\circ\] \[\angle CPM + \angle CPM + 90^\circ = 180^\circ\] \[2 \cdot \angle CPM = 90^\circ\] \[\angle CPM = 45^\circ\] Значит, \(\angle CPM = \angle CMP = 45^\circ\). Также известно, что CA = 8 см. Поскольку треугольник PCM - равнобедренный, то PC = CM. Рассмотрим треугольник PCA. В нем \(\angle PCA = 90^\circ\) и CA = 8 см. Чтобы найти PC, рассмотрим треугольник CAM, в котором CM=PC \(\angle PCA = 90^\circ\), \(\angle PAC = 45^\circ\). Тогда: \[\angle PAC = 45^\circ\]. Отсюда следует, что \(\angle MCA = 45^\circ\] Треугольники PCA и CAM равны. PC=CA = 8 см, так как \(\angle PCA = \angle CAM = 90^\circ\), \(\angle APC = \angle AMC\). Теперь, зная, что PC = CM = 8 см, можно найти MP по теореме Пифагора для треугольника PCM: \[MP^2 = PC^2 + CM^2\] \[MP^2 = 8^2 + 8^2\] \[MP^2 = 64 + 64\] \[MP^2 = 128\] \[MP = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}\] **Ответ:** MP = 8√2 см