5. ∠DCM = 70°. Найти ∠DAM

Рассмотрим четырехугольник ADCM. Угол CDM прямой (90°). Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. \[\angle CDM + \angle DCM + \angle DAM + \angle AMC = 360^\circ\] Нам известно, что ∠DCM = 70° и ∠CDM = 90°. Нужно найти ∠DAM. Сначала найдем ∠AMC. Так как MD и AC - биссектрисы, то \(\angle AMD = \angle CMD\). И \(\angle DCA = \angle MCA\). По условию \(\angle DCM = 70^\circ\), следовательно \(\angle DCA = \angle MCA = \frac{1}{2} \cdot \angle DCM\). Но мы не знаем чему равен угол ∠ACM, поэтому используем другой подход. Пусть \(\angle DAM = x\). Тогда, зная, что сумма углов в четырехугольнике равна 360°: \[90^\circ + 70^\circ + x + \angle AMC = 360^\circ\] \[160^\circ + x + \angle AMC = 360^\circ\] \[x + \angle AMC = 200^\circ\] Также известно, что \(AD \perp DM\), поэтому \(\angle ADM = 90^\circ\). В треугольнике ADM: \[\angle DAM + \angle ADM + \angle DMA = 180^\circ\] \[x + 90^\circ + \angle DMA = 180^\circ\] \[\angle DMA = 90^\circ - x\] Аналогично, в треугольнике CDM: \[\angle DCM + \angle CDM + \angle DMC = 180^\circ\] \[70^\circ + 90^\circ + \angle DMC = 180^\circ\] \[\angle DMC = 20^\circ\] Так как MD - биссектриса угла AMC, то \[\angle AMC = 2 \cdot \angle DMC = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\] Подставляем найденное значение угла AMC в уравнение для четырехугольника: \[x + 40^\circ = 200^\circ\] \[x = 160^\circ\] Это неверно, так как углы в четырехугольнике не могут быть больше 180 градусов. Рассмотрим треугольник ADC. \(\angle ADC = 90^\circ\). \(\angle DCA + \angle DAC = 90^\circ\). \(\angle DCA = \frac{1}{2} (70^\circ) = 35^\circ\). Тогда \(\angle DAC = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\). Значит, \(\angle DAM = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ\) так как \(AD \perp CD\), \(DM\) биссектриса угла \(ADC\) и \(AC\) биссектриса угла \(DCM\). **Ответ:** ∠DAM = 20°