12.28. ∫ dx/2sinx+cosx

12.28. Для решения интеграла ∫ dx/(2sin(x) + cos(x)) можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку t = tan(x/2). Тогда:

sin(x) = (2t)/(1+t^2)

cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)

dx = (2dt)/(1+t^2)

Подставим это в интеграл:

∫ (2dt/(1+t^2)) / (2(2t)/(1+t^2) + (1-t^2)/(1+t^2)) = ∫ (2dt) / (4t + 1 - t^2) = 2∫ dt / (-t^2 + 4t + 1)

Преобразуем квадратный трехчлен в знаменателе: −t^2 + 4t + 1 = −(t^2 − 4t − 1) = −((t − 2)^2 − 5) = 5 − (t − 2)^2

Тогда интеграл равен:

2∫ dt / (5 − (t − 2)^2) = 2∫ dt / ((\sqrt{5})^2 − (t − 2)^2)

Этот интеграл имеет вид ∫ dx / (a^2 - x^2) = (1/(2a)) * ln| (a+x) / (a-x) | + C.

Применяя эту формулу, получим:

2 * (1/(2*sqrt(5))) * ln| (sqrt(5) + t - 2) / (sqrt(5) - t + 2) | + C = (1/sqrt(5)) * ln| (sqrt(5) + tan(x/2) - 2) / (sqrt(5) - tan(x/2) + 2) | + C

Ответ: (1/sqrt(5)) * ln| (sqrt(5) + tan(x/2) - 2) / (sqrt(5) - tan(x/2) + 2) | + C