12.29. ∫ (3x+1)dx/√(x²+4x+6)

12.29. Для решения интеграла ∫ (3x+1) dx / √(x^2 + 4x + 6) выполним следующие шаги:

Преобразуем числитель так, чтобы выделить производную подкоренного выражения:

Производная x^2 + 4x + 6 равна 2x + 4.

Выразим 3x + 1 через 2x + 4: 3x + 1 = A(2x + 4) + B. Отсюда 3x + 1 = 2Ax + 4A + B. Сравнивая коэффициенты, получим:

2A = 3, A = 3/2

4A + B = 1, 4*(3/2) + B = 1, 6 + B = 1, B = -5

Тогда 3x + 1 = (3/2)(2x + 4) - 5

Исходный интеграл можно записать как:

∫ ((3/2)(2x + 4) - 5) dx / √(x^2 + 4x + 6) = (3/2) ∫ (2x + 4) dx / √(x^2 + 4x + 6) - 5 ∫ dx / √(x^2 + 4x + 6)

Для первого интеграла сделаем замену t = x^2 + 4x + 6, dt = (2x + 4) dx. Тогда:

(3/2) ∫ dt / √t = (3/2) * 2√t = 3√(x^2 + 4x + 6)

Для второго интеграла выделим полный квадрат в подкоренном выражении: x^2 + 4x + 6 = (x + 2)^2 + 2

-5 ∫ dx / √((x + 2)^2 + 2). Сделаем замену u = x + 2, du = dx

-5 ∫ du / √(u^2 + 2) = -5 * ln|u + √(u^2 + 2)| = -5 * ln|x + 2 + √((x + 2)^2 + 2)| = -5 * ln|x + 2 + √(x^2 + 4x + 6)|

Итоговый интеграл:

3√(x^2 + 4x + 6) - 5 ln|x + 2 + √(x^2 + 4x + 6)| + C

Ответ: 3√(x^2 + 4x + 6) - 5 ln|x + 2 + √(x^2 + 4x + 6)| + C