⑥ Найдите значение выражения 2\sqrt{1-2\sqrt{6}+6}.

Решение:

Сначала упростим выражение под корнем:

\[1 - 2\sqrt{6} + 6 = 7 - 2\sqrt{6}\]

Заметим, что это выражение можно представить как полный квадрат:

\[7 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6} + 1^2 = (\sqrt{6} - 1)^2\]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[2\sqrt{1-2\sqrt{6}+6} = 2\sqrt{(\sqrt{6}-1)^2} = 2|\sqrt{6}-1|\]

Так как \(\sqrt{6} > 1\), то \(|\sqrt{6}-1| = \sqrt{6}-1\).

Тогда:

\[2(\sqrt{6}-1) = 2\sqrt{6} - 2\]

Ответ: 2\sqrt{6} - 2