⑥8x²-2x-1 ≤0 x

6. Решим неравенство $$\frac{8x^2-2x-1}{x} \le 0$$.

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения:

$$8x^2-2x-1 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36$$

$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2+6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2-6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$$

Тогда числитель можно представить как $$8(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{4}) = 8(x - 0.5)(x + 0.25)$$.

Получаем неравенство: $$\frac{8(x - 0.5)(x + 0.25)}{x} \le 0$$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$x - 0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.5$$

$$x + 0.25 = 0 \Rightarrow x = -0.25$$

$$x = 0$$

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

    -       +       -       +
---(-0.25)---(0)---(0.5)-----> x

Выберем интервалы, где выражение меньше или равно 0. Получаем: $$x \in (-\infty; -0.25] \cup (0; 0.5]$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -0.25] \cup (0; 0.5]$$.