8 x²-14x+48 >0 x+7

8. Решим неравенство $$\frac{x^2-14x+48}{x+7}>0$$.

Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2-14x+48 = 0$$

$$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$$

$$x_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14+2}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14-2}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Тогда числитель можно представить как $$(x - 8)(x - 6)$$.

Получаем неравенство: $$\frac{(x - 8)(x - 6)}{x+7} > 0$$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$$x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$$

$$x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$$

$$x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$$

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

    -       +       -       +
---(-7)---(6)---(8)-----> x

Выберем интервалы, где выражение больше 0. Получаем: $$x \in ( -7; 6 ) \cup (8; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in ( -7; 6 ) \cup (8; +\infty)$$.