21.★★★ Биссектрисы двух соседних углов четырёхугольника перпендику- лярны. Докажите, что две стороны этого четырёхугольника параллельны.

Для решения этой задачи требуется понимание свойств биссектрис и параллельности сторон четырехугольника. Поскольку биссектрисы двух соседних углов перпендикулярны, сумма этих углов равна 180 градусам. Это указывает на то, что две противоположные стороны четырехугольника параллельны.

Доказательство:

1. Пусть ABCD - четырехугольник, в котором биссектрисы углов A и B пересекаются под прямым углом.
2. Обозначим точку пересечения биссектрис углов A и B через O. Тогда угол AOB равен 90 градусам.
3. Сумма углов треугольника AOB равна 180 градусам, следовательно, угол OAB + угол OBA = 180 - 90 = 90 градусов.
4. Так как AO и BO - биссектрисы углов A и B соответственно, то угол A = 2 * угол OAB и угол B = 2 * угол OBA.
5. Следовательно, угол A + угол B = 2 * (угол OAB + угол OBA) = 2 * 90 = 180 градусов.
6. Если сумма двух углов четырехугольника, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам, то противоположные стороны четырехугольника параллельны. В данном случае стороны AD и BC параллельны.

Ответ: Две стороны четырехугольника параллельны.