23. ★★☆ У четырёхугольника ABCD рав- ны его углы А и В, а угол C равен 60°. Найдите угол D, если АВ = BC = CD.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства четырехугольника и равнобедренных треугольников.

1. Пусть угол A = угол B = x.
2. Сумма углов четырехугольника равна 360°, поэтому x + x + 60° + угол D = 360°.
3. Следовательно, угол D = 300° - 2x.
4. Поскольку AB = BC, треугольник ABC - равнобедренный, следовательно, угол BAC = угол BCA = (180° - x) / 2 = 90° - x/2.
5. Поскольку BC = CD, треугольник BCD - равнобедренный, следовательно, угол CBD = угол CDB.
6. Угол BCD = 60°. Следовательно, угол CBD = угол CDB = (180° - 60°) / 2 = 60°. Значит, треугольник BCD - равносторонний.
7. Рассмотрим треугольник ABD. Угол ABD = угол ABC - угол CBD = x - 60°.
8. Найдем угол ADB: угол ADB = угол ADC - угол BDC = угол D - 60° = 300° - 2x - 60° = 240° - 2x.
9. В треугольнике ABD: угол A + угол ABD + угол ADB = 180°. x + x - 60° + 240° - 2x = 180°. 180° = 180°. Это не дает решения.

Решение 2:

1. Продлим стороны AD и BC до пересечения в точке E.
2. Т.к. углы A и B равны, то треугольник ABE равнобедренный, AE = BE.
3. Т.к. AB = BC = CD, то треугольники ABE и CDE подобны.
4. Угол C = 60, угол D = y.
5. Т.к. сумма углов четырехугольника равна 360, то 2A + 60 + y = 360, A = (300 - y) / 2 = 150 - y/2.
6. Т.к. треугольник ABE равнобедренный, то угол AEB = 180 - 2A = 180 - 2(150 - y/2) = 180 - 300 + y = y - 120.
7. Т.к. треугольники ABE и CDE подобны, то углы при вершине E равны, y - 120 = 60, y = 180. Такого не может быть.

Сделаем чертеж.

      A________________B
     /                \
    /                  \
   /                    \
  D______________________C

Проведем дополнительные построения. Отложим на стороне AD отрезок AE = AB = BC = CD. Соединим точки B и E.

Ответ: Нет решения.