15.1 ★★☆ Докажите, что прямые АВ и CD, изображённые на клетчатой бумаге, перпендикулярны друг другу (рис. 15.6).

Для доказательства перпендикулярности прямых AB и CD на рисунке 15.6, рассмотрим углы, которые эти прямые образуют с линиями сетки. Если при пересечении этих прямых образуется прямой угол (90 градусов), то они перпендикулярны.

На рисунке 15.6 видно, что прямая AB проходит через узлы сетки, смещаясь на одну клетку по вертикали и на одну клетку по горизонтали. Прямая CD также проходит через узлы сетки, но смещается на две клетки по вертикали и на две клетки по горизонтали в противоположном направлении.

Заметим, что угол между прямой AB и горизонтальной линией сетки равен углу, тангенс которого равен 1 (т.е. угол 45 градусов). Угол между прямой CD и вертикальной линией сетки также равен углу, тангенс которого равен 1 (т.е. угол 45 градусов). Поскольку эти прямые направлены в противоположные стороны, угол между ними будет равен сумме этих углов, то есть 45 + 45 = 90 градусов.

Таким образом, прямые AB и CD перпендикулярны.

Ответ: Прямые AB и CD перпендикулярны, так как образуют угол 90 градусов.