15.4 ★★☆ Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отрезки А В и CD, показанные на рисунке 15.9, перпендикулярны друг другу.

Рассмотрим два квадрата, имеющие общую вершину, как показано на рисунке 15.9. Пусть квадраты ABCD и AEFG имеют общую вершину A. Требуется доказать, что отрезки AB и CG перпендикулярны.

1. Обозначим углы ∠BAC = α и ∠CAG = β.

2. Поскольку ABCD и AEFG — квадраты, углы ∠BAD = ∠GAE = 90 градусов.

3. Тогда угол ∠DAE = 360 - (90 + 90) = 180. ∠DAE развернутый, следовательно точки D, A, E лежат на одной прямой.

4. Рассмотрим углы ∠BAC и ∠CAG. ∠BAC + ∠CAG = α + β = ∠BAG.

5. Докажем, что прямые AB и CG перпендикулярны. Для этого необходимо доказать, что угол между ними равен 90 градусов. Рассмотрим поворот отрезка AB вокруг точки A на 90 градусов. В результате этого поворота точка B перейдет в точку D.

6. Обозначим точку пересечения AB и CG точкой O. Если ∠AOC = 90 градусов, то отрезки AB и CG перпендикулярны.

7. Угол между AB и CG равен ∠BOC. Угол ∠BOC = ∠BAC + ∠ACG = α + β.

8. Так как ∠BAC и ∠ACG — острые углы, α + β = 90 градусов.

Таким образом, отрезки AB и CG перпендикулярны.

Ответ: Отрезки АB и CD перпендикулярны друг другу.