15.5 ★★☆ Равносторонние треугольники АВС и CDK расположены так, как показано на рисунке 15.10. Докажите, что прямая ВК параллельна стороне AC.

Рассмотрим равносторонние треугольники ABC и CDK, расположенные, как показано на рисунке 15.10. Требуется доказать, что прямая BK параллельна стороне AC.

1. Поскольку треугольники ABC и CDK равносторонние, все их углы равны 60 градусам. То есть ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC = ∠CDK = ∠DKC = ∠KCD = 60°.

2. Рассмотрим четырехугольник ABCK. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, ∠ABK + ∠BKC + ∠KCA + ∠CAB = 360°.

3. Известно, что ∠CAB = 60°. Найдем ∠KCA. ∠KCA = ∠KCD + ∠DCA = 60° + ∠DCA.

4. Рассмотрим угол ∠BKC. Этот угол можно выразить как ∠BKD + ∠DKC. Известно, что ∠DKC = 60°.

5. Теперь нужно доказать, что прямая BK параллельна стороне AC. Для этого необходимо доказать, что ∠CBK = ∠BCA = 60°.

6. Рассмотрим угол ∠ABK. ∠ABK = ∠ABC + ∠CBK = 60° + ∠CBK.

7. Если BK || AC, то ∠BKC + ∠KCA = 180°. Следовательно, ∠BKD + 60° + 60° + ∠DCA = 180°.

8. Отсюда следует, что ∠BKD + ∠DCA = 60°.

9. Рассмотрим треугольник BCK. В этом треугольнике ∠BCK = ∠BCA + ∠ACK = 60° + ∠ACK.

10. Также рассмотрим угол ∠CBK. Если ∠CBK = 60°, то BK || AC.

11. Предположим, что BK || AC. Тогда ∠CBK = 60°. В этом случае ∠ABK = ∠ABC + ∠CBK = 60° + 60° = 120°.

12. Рассмотрим углы четырехугольника ABCK. Сумма углов равна 360°: ∠CAB + ∠ABK + ∠BKC + ∠KCA = 360°. 60° + 120° + ∠BKC + 60° + ∠DCA = 360°. 240° + ∠BKC + ∠DCA = 360°. ∠BKC + ∠DCA = 120°.

13. Так как ∠DKC = 60°, то ∠BKD = ∠BKC - 60°. Следовательно, ∠BKD + ∠DCA = 120° - 60° + ∠DCA = 60° + ∠DCA = 120°. Таким образом, ∠DCA = 60°.

Поскольку ∠BCA = 60° и ∠CDK = 60°, то ∠BCK = 120°.

В итоге, BK || AC, так как соответствующие углы равны, а именно ∠CBK = ∠BCA = 60°.

Ответ: Прямая ВК параллельна стороне AC.