18.10 ★★☆ Докажите, что сумма диагоналей четырех- угольника меньше его периметра (рис. 18.36).

Ответ: Доказано в решении.

Пусть ABCD - четырехугольник, и AC и BD - его диагонали.

Для треугольника ABC по неравенству треугольника имеем: AC < AB + BC

Для треугольника ADC по неравенству треугольника имеем: AC < AD + DC

Для треугольника ABD по неравенству треугольника имеем: BD < AB + AD

Для треугольника BCD по неравенству треугольника имеем: BD < BC + CD

Сложим эти четыре неравенства:

AC + AC + BD + BD < (AB + BC) + (AD + DC) + (AB + AD) + (BC + CD)

2AC + 2BD < 2AB + 2BC + 2CD + 2AD

Разделим обе части неравенства на 2:

AC + BD < AB + BC + CD + AD

Сумма диагоналей меньше периметра четырехугольника.

Ответ: Доказано в решении.