2. ★☆☆ Две противоположные стороны четырёхугольника равны и два его противоположных угла прямые. Докажите, что все углы этого четырёхугольника прямые.

Ответ:

Доказательство:

1. Пусть дан четырехугольник ABCD, в котором AB = CD и углы A и C – прямые (90 градусов).
2. Проведем диагональ BD.
3. Рассмотрим треугольники ABD и CDB.
4. В них BD – общая сторона, AB = CD (по условию), углы A и C – прямые.
5. Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует равенство углов ABD и CDB, а также углов ADB и CBD.
7. Так как углы A и C прямые, сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов, а углы B и D должны быть прямыми, чтобы сумма всех углов была 360 градусов (360 - 90 - 90 = 180, значит B + D = 180, но B = D, значит B = D = 90).
8. Таким образом, все углы четырехугольника ABCD – прямые.