1. ★☆☆ Из точки на биссектрисе угла 1. опустили перпендикуляры на его сто- роны. Докажите, что они равны.

Для доказательства равенства перпендикуляров, опущенных из точки на биссектрисе угла на его стороны, можно воспользоваться следующим рассуждением:

1. Рассмотрим угол \( \angle ABC \) и биссектрису \( BD \) этого угла.
2. Пусть точка \( E \) лежит на биссектрисе \( BD \).
3. Опустим перпендикуляры \( EF \) и \( EG \) на стороны угла \( AB \) и \( BC \) соответственно.
4. Рассмотрим треугольники \( \triangle BEF \) и \( \triangle BEG \).
5. У этих треугольников сторона \( BE \) является общей.
6. Так как \( BD \) - биссектриса, то \( \angle FBE = \angle GBE \).
7. Углы \( \angle BFE \) и \( \angle BGE \) прямые, так как \( EF \) и \( EG \) - перпендикуляры.
8. Следовательно, треугольники \( \triangle BEF \) и \( \triangle BEG \) равны по гипотенузе и острому углу (угол, прилежащий к гипотенузе).
9. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть \( EF = EG \).

Таким образом, доказано, что перпендикуляры, опущенные из точки на биссектрисе угла на его стороны, равны.

Ответ: Доказано.