3. ★☆☆ Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна одному из его катетов. Найдите острые углы этого треугольника.

Ответ:

Решение:

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Медиана CM проведена к гипотенузе AB, и CM = AC.
2. Так как медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то CM = AM = MB.
3. Следовательно, AM = MB = AC.
4. Рассмотрим треугольник AMC. Он равнобедренный, так как AM = AC.
5. Значит, углы при основании AM равны: угол MAC = угол MCA.
6. Пусть угол MAC = x, тогда угол MCA = x.
7. Рассмотрим треугольник CMB. Он тоже равнобедренный, так как CM = MB.
8. Значит, углы при основании MB равны: угол MBC = угол MCB.
9. Пусть угол MBC = y, тогда угол MCB = y.
10. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180 градусов.
11. Тогда угол CAB + угол ABC + угол BCA = 180 градусов.
12. Заменим углы на известные переменные: x + y + x = 180 градусов.
13. Так как угол BCA прямой, то x + y = 90 градусов.
14. Из равенства CM = AC следует, что x + x + y = 90, следовательно, 2x + y = 90.
15. Из системы уравнений x + y = 90 и 2x + y = 90 вычтем первое уравнение из второго: x = 0.
16. Это невозможно, значит, угол ACB не прямой.
17. Изначальное условие CM = AC неверно.
18. Пусть ∠MAC = ∠MCA = x, ∠MBC = ∠MCB = y , тогда ∠BCA = 90° и x+y = 90°. Пусть CM = AC, тогда AM = AC = CM. ∠ABC = ∠MCB = y , ∠BAC =∠MCA = x Тогда ∠ACM = 30°, ∠MCB = 60°. Следовательно ∠ABC = 60°, ∠BAC = 30°.

Ответ: Острые углы треугольника равны 30° и 60°.