2.★☆☆ Две противоположные стороны четырёхугольника равны и два его противоположных угла прямые. Дока- жите, что все углы этого четырёх- угольника прямые.

Дано: Четырехугольник ABCD, AB = CD, \(\angle A = \angle C = 90^\circ\) Доказать: \(\angle B = \angle D = 90^\circ\) Решение:

1. Проведем диагональ BD.
2. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. В них AB = CD (по условию), BD - общая сторона, \(\angle A = \angle C = 90^\circ\). Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по двум катетам.
3. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз: AD = CB.
4. Теперь рассмотрим треугольники ABD и CDB еще раз. В них AB = CD (по условию), AD = CB (доказано выше), BD - общая сторона. Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по трем сторонам.
5. Из равенства треугольников следует равенство углов: \(\angle ABD = \angle CDB\) и \(\angle ADB = \angle CBD\).
6. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Так как \(\angle A = \angle C = 90^\circ\), то \(\angle B + \angle D = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ\).
7. Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в нем равна 180 градусов: \(\angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ\). Так как \(\angle A = 90^\circ\), то \(\angle ABD + \angle ADB = 90^\circ\).
8. Аналогично, в треугольнике CDB: \(\angle CDB + \angle CBD = 90^\circ\).
9. Мы знаем, что \(\angle ABD = \angle CDB\) и \(\angle ADB = \angle CBD\), поэтому \(\angle B = \angle ABD + \angle CBD = \angle CDB + \angle ADB = \angle D\).
10. Так как \(\angle B + \angle D = 180^\circ\) и \(\angle B = \angle D\), то \(\angle B = \angle D = 90^\circ\).

Таким образом, доказано, что все углы четырехугольника прямые.

Ответ: Доказано.