3. ★☆☆ Медиана, проведённая к гипо- тенузе прямоугольного треугольника, равна одному из его катетов. Найдите острые углы этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть CM - медиана, проведенная к гипотенузе AB. Известно, что CM = AC.

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, CM = AM = MB.
2. Так как CM = AC, то AM = MB = AC.
3. Рассмотрим треугольник AMC. В нем AM = AC = CM, следовательно, треугольник AMC равносторонний.
4. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов. Значит, \(\angle MAC = \angle ACM = \angle CMA = 60^\circ\).
5. Теперь рассмотрим треугольник CMB. В нем CM = MB, следовательно, треугольник CMB равнобедренный.
6. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Значит, \(\angle MCB = \angle MBC\).
7. Мы знаем, что \(\angle CMA + \angle CMB = 180^\circ\) (смежные углы). Так как \(\angle CMA = 60^\circ\), то \(\angle CMB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\).
8. В треугольнике CMB сумма углов равна 180 градусов: \(\angle CMB + \angle MCB + \angle MBC = 180^\circ\). Так как \(\angle MCB = \angle MBC\), то \(120^\circ + 2 \cdot \angle MCB = 180^\circ\).
9. Отсюда \(2 \cdot \angle MCB = 60^\circ\), следовательно, \(\angle MCB = \angle MBC = 30^\circ\).
10. Таким образом, углы треугольника ABC равны: \(\angle BAC = 60^\circ\) и \(\angle ABC = 30^\circ\).

Ответ: 30°; 60°.