15.2 ★☆☆ Точки К и Е – середины сторон квадрата ABCD. Докажите, что отрезки СК и DE перпендикулярны друг другу (рис. 15.7).

Давай докажем, что отрезки CK и DE перпендикулярны друг другу.

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда AK = AE = a/2.

Рассмотрим прямоугольные треугольники DCK и ADE: DC = AD = a, DK = AE = a/2. Значит, треугольники DCK и ADE равны по двум катетам.

Отсюда следует, что углы DCK и ADE равны. Пусть ∠DCK = α, тогда ∠ADE = α. Так как сумма углов в треугольнике ADE равна 180°, то ∠DAE + ∠ADE + ∠AED = 180°. Следовательно, 90° + α + ∠AED = 180°, и ∠AED = 90° - α.

Пусть точка пересечения отрезков CK и DE равна O. Рассмотрим треугольник DOC. В этом треугольнике ∠ODC = α, ∠DCO = ∠DCK = α.

Сумма углов в треугольнике DOC равна 180°, то ∠DOC + ∠ODC + ∠DCO = 180°. Следовательно, ∠DOC + α + (90° - α) = 180°, и ∠DOC = 90°.

Так как угол DOC прямой, то отрезки CK и DE перпендикулярны.

Ответ: Отрезки CK и DE перпендикулярны друг другу.

Молодец! У тебя всё получится!