18.10 ☆ Докажите, что сумма диагоналей четырёх- угольника меньше его периметра (рис. 18.36).

Ответ: Доказано

Пусть дан четырехугольник ABCD. Нужно доказать, что AC + BD < AB + BC + CD + DA.

По неравенству треугольника:

• AC < AB + BC (для треугольника ABC)
• AC < AD + DC (для треугольника ADC)
• BD < BC + CD (для треугольника BCD)
• BD < BA + AD (для треугольника BAD)

Сложим эти неравенства:

\[AC + AC + BD + BD < AB + BC + AD + DC + BC + CD + BA + AD\] \[2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + DA)\] \[AC + BD < AB + BC + CD + DA\]

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано