1039 ☐ Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между векторами: а) \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\); б) \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DA}\); в) \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\); г) \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{OB}\); д) \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\); е) \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\); ж) \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DB}\); з) \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{OC}\).

Решение:

а) Угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен углу между стороной квадрата и его диагональю. В квадрате диагональ является биссектрисой угла, поэтому угол равен 45°.

б) Угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DA}\). Вектор \(\overrightarrow{DA}\) направлен противоположно вектору \(\overrightarrow{AB}\), поэтому угол между ними 180° - 90° = 90°.

в) Угол между векторами \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\). Так как диагонали квадрата перпендикулярны, то угол между ними равен 90°.

г) Угол между векторами \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{OB}\) равен 90°.

д) Угол между векторами \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\) . Векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\) противоположно направлены, поэтому угол между ними равен 180°.

е) Угол между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\). Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому угол между ними равен 90°.

ж) Угол между векторами \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DB}\). Угол \(ADB=45^{\circ}\). \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) противоположно направлены, угол между векторами \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DB}\) равен 135°.

з) Угол между векторами \(\overrightarrow{AO}\) и \(\overrightarrow{OC}\) равен 180° (противоположно направлены).

Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 90°; г) 90°; д) 180°; е) 90°; ж) 135°; з) 180°.