1041 ☐ Вычислите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), если |\(\overrightarrow{a}\)|= 2, |\(\overrightarrow{b}\)|= 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

Решение:

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) вычисляется по формуле:

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\varphi)$$

где \(\varphi\) - угол между векторами \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\).

а) \(\varphi = 45^{\circ}\):

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(45^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

б) \(\varphi = 90^{\circ}\):

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(90^{\circ}) = 6 \cdot 0 = 0$$

в) \(\varphi = 135^{\circ}\):

$$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(135^{\circ}) = 6 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\sqrt{2}$$

Ответ: а) \(3\sqrt{2}\); б) 0; в) \(-3\sqrt{2}\).