1042 ☐ В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведе- на высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов: a) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\); б) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}\); в) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}\); г) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}\).

Решение:

a) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) = |\(\overrightarrow{AB}\)| * |\(\overrightarrow{AC}\)| * cos(60°) = a * a * 1/2 = \(a^2\)/2

б) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CB}\) = |\(\overrightarrow{AC}\)| * |\(\overrightarrow{CB}\)| * cos(120°) = a * a * (-1/2) = -\(a^2\)/2

в) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}\) = |\(\overrightarrow{AC}\)| * |\(\overrightarrow{BD}\)| * cos(90°) = a * a*\(\sqrt{3}\)/2 * 0 = 0

г) \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC}\) = |\(\overrightarrow{AC}\)| * |\(\overrightarrow{AC}\)| * cos(0°) = a * a * 1 = \(a^2\)

Ответ: a) \(a^2\)/2; б) -\(a^2\)/2; в) 0; г) \(a^2\)