№6 (3 б). На рисунке 3 KL = LM, MK = KN. Найти ∠LKM, если ∠KNM = 45°

Рассмотрим треугольник KMN. Так как MK = KN, то треугольник KMN равнобедренный с основанием MN, следовательно, углы при основании равны: ∠KMN = ∠KNM = 45°.

Сумма углов треугольника KMN равна 180°.

$$∠KNM + ∠KMN + ∠MKN = 180°$$.

$$∠MKN = 180° - ∠KNM - ∠KMN = 180° - 45° - 45° = 90°$$.

Рассмотрим треугольник KLM. Так как KL = LM, то треугольник KLM равнобедренный с основанием KM, следовательно, углы при основании равны: ∠LKM = ∠LMK.

$$∠KLM + ∠LKM + ∠LMK = 180°$$.

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

$$∠KNM + ∠NKL + ∠KLM + ∠LMK = 360°$$.

$$∠NKL = 360° - ∠KNM - ∠LMK - ∠KLM = 360° - 90° - 45° - 45° = 180°$$.

Так как ∠KLM = ∠LKM, то 2 ∠LKM = 180°.

$$∠LKM = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90°$$.

Ответ: 90°