№4 (2 б). Сложить дроби и упростить: \(\frac{c}{b-c} + \frac{b^2-3bc}{b^2-c^2}\)

Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $$b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$$.
2. Теперь общий знаменатель будет $$(b - c)(b + c)$$.
3. Первую дробь нужно домножить на $$(b + c)$$, чтобы привести к общему знаменателю: $$\frac{c}{b-c} = \frac{c(b+c)}{(b-c)(b+c)} = \frac{bc+c^2}{(b-c)(b+c)}$$.
4. Вторую дробь не нужно домножать, так как её знаменатель уже является общим: $$\frac{b^2-3bc}{b^2-c^2} = \frac{b^2-3bc}{(b-c)(b+c)}$$.
5. Теперь сложим дроби: $$\frac{bc+c^2}{(b-c)(b+c)} + \frac{b^2-3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{bc+c^2+b^2-3bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{b^2-2bc+c^2}{(b-c)(b+c)}$$.
6. Числитель является полным квадратом: $$b^2-2bc+c^2 = (b-c)^2$$.
7. Подставим это в дробь: $$\frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)}$$.
8. Сократим дробь на $$(b-c)$$: $$\frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+c)} = \frac{b-c}{b+c}$$.

Ответ: \(\frac{b-c}{b+c}\)