№6 (3 б). Упростить выражение \(\frac{a+b}{3a-b} + \frac{1}{a+b} \cdot \frac{a^2-b^2}{3a-b}\). Найти его значение при \(a = 2, b = \frac{1}{2}\)

Сначала упростим выражение.

1. Разложим числитель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.
2. Подставим это в выражение: $$\frac{a+b}{3a-b} + \frac{1}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{3a-b}$$.
3. Сократим дробь: $$\frac{1}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{3a-b} = \frac{a-b}{3a-b}$$.
4. Теперь выражение выглядит так: $$\frac{a+b}{3a-b} + \frac{a-b}{3a-b}$$.
5. Сложим дроби: $$\frac{a+b}{3a-b} + \frac{a-b}{3a-b} = \frac{a+b+a-b}{3a-b} = \frac{2a}{3a-b}$$.
6. Теперь подставим значения \(a = 2, b = \frac{1}{2}\): $$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{6 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{12}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{11}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{11} = \frac{8}{11}$$.

Ответ: \(\frac{8}{11}\)