№5 (2 б). В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена высота ВН. ∠ABC = 60°, АН = 5 см. Найти длины сторон ВС и АС

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$, высота $$BH$$ является также медианой и биссектрисой. Это означает, что $$AH = HC$$ и $$∠ABH = ∠CBH$$.

Так как $$AH = 5$$ см, то $$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 5 = 10$$ см.

Рассмотрим треугольник $$ABH$$. Так как $$BH$$ — высота, то $$∠BHA = 90°$$. Угол $$∠ABH = \frac{1}{2} ∠ABC = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°$$.

Теперь можно найти сторону $$AB$$ (которая равна стороне $$BC$$, так как треугольник равнобедренный) через косинус угла $$∠ABH$$:

$$cos∠ABH = \frac{AH}{AB}$$, $$cos30° = \frac{5}{AB}$$, $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{AB}$$, $$AB = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$ (см).

Итак, $$BC = AB = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$ см и $$AC = 10$$ см.

Ответ: $$BC = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$ см, $$AC = 10$$ см