№5 (2 б). В равнобедренном треугольнике FPN с основанием FN проведена высота РТ. FT = 17 см, FP = 34 см. Найти ∠FPN и сторону FN

Рассмотрим прямоугольный треугольник FTP. В нем FT = 17 см, FP = 34 см. Так как катет FT в два раза меньше гипотенузы FP, то угол ∠FPT = 30° (катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы).

Так как PT - высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, то она является и биссектрисой, то есть ∠FPN = 2*∠FPT = 2 * 30° = 60°

По теореме Пифагора: $$PT = \sqrt{FP^2 - FT^2} = \sqrt{34^2 - 17^2} = \sqrt{1156-289} = \sqrt{867} = 17\sqrt{3}$$

Так как треугольник FPN равнобедренный, то углы при основании равны, то есть ∠PFN = ∠PNF = (180° - ∠FPN) / 2 = (180° - 60°) / 2 = 60°

Следовательно, треугольник FPN - равносторонний, и FN = FP = 34 см.

Ответ: ∠FPN = 60°, FN = 34 см.