№3. (2 балла) Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 1 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - стороны прямоугольника, $$d$$ - диагональ. По условию, $$d = a + 8$$ и $$d = b + 1$$. По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = d^2$$.

Выразим $$a$$ и $$b$$ через $$d$$: $$a = d - 8$$ и $$b = d - 1$$. Подставим в уравнение:

$$(d - 8)^2 + (d - 1)^2 = d^2$$

$$d^2 - 16d + 64 + d^2 - 2d + 1 = d^2$$

$$d^2 - 18d + 65 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65 = 324 - 260 = 64$$

$$D > 0$$, значит уравнение имеет два корня:

$$d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 8}{2} = \frac{26}{2} = 13$$

$$d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Т.к. диагональ больше стороны на 8 см, то $$d = 13$$.

$$a = d - 8 = 13 - 8 = 5$$

$$b = d - 1 = 13 - 1 = 12$$

Ответ: 5 см и 12 см