№1. (8 баллов) Решить уравнения: a) 3x² – 7x – 6 = 0; б) 8x² – 4x = 0; в) 9х2 = 25; r) 5x² + 7x + 3 = 0; д) х² – 3x – 40 = 0; e) x² + 14x = -31; ж) 7х2 – 2-1 = 0; з) y² = 5y;

Решим уравнения:

1. a) $$3x^2 - 7x - 6 = 0$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$$

   $$D > 0$$, значит уравнение имеет два корня:

   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$$

   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$

   Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -\frac{2}{3}$$

2. б) $$8x^2 - 4x = 0$$

   Вынесем общий множитель за скобки:

   $$4x(2x - 1) = 0$$

   Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

   $$4x = 0$$ или $$2x - 1 = 0$$

   $$x_1 = 0$$ или $$2x = 1$$

   $$x_1 = 0$$ или $$x_2 = \frac{1}{2}$$

   Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2}$$

3. в) $$9x^2 = 25$$

   $$x^2 = \frac{25}{9}$$

   $$x = \pm \sqrt{\frac{25}{9}}$$

   $$x_1 = \frac{5}{3}, x_2 = -\frac{5}{3}$$

   Ответ: $$x_1 = \frac{5}{3}, x_2 = -\frac{5}{3}$$

4. г) $$5x^2 + 7x + 3 = 0$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 49 - 60 = -11$$

   Так как $$D < 0$$, уравнение не имеет действительных корней.

   Ответ: корней нет

5. д) $$x^2 - 3x - 40 = 0$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$

   $$D > 0$$, значит уравнение имеет два корня:

   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

   Ответ: $$x_1 = 8, x_2 = -5$$

6. e) $$x^2 + 14x = -31$$

   $$x^2 + 14x + 31 = 0$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 31 = 196 - 124 = 72$$

   $$D > 0$$, значит уравнение имеет два корня:

   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{72}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 6\sqrt{2}}{2} = -7 + 3\sqrt{2}$$

   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{72}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 6\sqrt{2}}{2} = -7 - 3\sqrt{2}$$

   Ответ: $$x_1 = -7 + 3\sqrt{2}, x_2 = -7 - 3\sqrt{2}$$

7. ж) $$7x^2 - 21 = 0$$

   $$7x^2 = 21$$

   $$x^2 = 3$$

   $$x = \pm \sqrt{3}$$

   $$x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$$

   Ответ: $$x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$$

8. з) $$y^2 = 5y$$

   $$y^2 - 5y = 0$$

   $$y(y - 5) = 0$$

   $$y = 0$$ или $$y - 5 = 0$$

   $$y_1 = 0, y_2 = 5$$

   Ответ: $$y_1 = 0, y_2 = 5$$