№ 4. Чему равен периметр параллелограмма MNOK, если МК = 30, высота H = 12, cos M = 0,6?

• Дано: параллелограмм MNOK, MK = 30, NH = 12, cos M = 0.6.
• Найти: периметр параллелограмма MNOK.
• В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть MK = NO и MN = OK.
• Для нахождения периметра нужно знать длину стороны MN. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNH, где NH - высота, проведенная к стороне MK.
• Из определения косинуса угла M в прямоугольном треугольнике MNH:

\[\cos M = \frac{MH}{MN}\]

• Выразим MH через косинус угла M:

\[MN = \frac{NH}{\sin M}\]

• Так как известен \(\cos M = 0.6\), найдем \(\sin M\):

\[\sin^2 M + \cos^2 M = 1\]

\[\sin^2 M = 1 - \cos^2 M = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64\]

\[\sin M = \sqrt{0.64} = 0.8\]

• Теперь можем найти MN:

\[MN = \frac{NH}{\sin M} = \frac{12}{0.8} = 15\]

• Периметр параллелограмма равен:

\[P = 2(MK + MN) = 2(30 + 15) = 2(45) = 90\]

\[NK^2 = NH^2 + KH^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288 \Rightarrow NK = \sqrt{288} = 12 \sqrt{2} \approx 17\]

• Теперь пересчитаем периметр. Так как \(\cos M = \frac{MH}{MN} \), то \(0,6 = \frac{MH}{MN} \). Опустим высоту из вершины \(N\) на сторону \(MK\) в точку \(H\). Тогда \(sin M = \frac{NH}{MN} \). Значит, \(MN = \frac{NH}{sin M} = \frac{12}{0,8} = 15\).
• Тогда периметр параллелограмма:

\[P = 2(MK + MN) = 2(30 + 40) = 2 \cdot 70 = 140\]

Другое решение: