№ 1. Угол в - острый угол. Найдите значения: a) cos ẞ, если sin ẞ = 1 2', б) sin ẞ, если cos ẞ = √3 2', в) tg ẞ, если sin ẞ = 5 13

• а) Дано: \(\sin \beta = \frac{1}{2}\). Найти: \(\cos \beta\). Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\). Подставляем известное значение синуса:

\[\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \beta = 1\]

• Упрощаем:

\[\frac{1}{4} + \cos^2 \beta = 1\]

• Выражаем \(\cos^2 \beta\):

\[\cos^2 \beta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\]

• Извлекаем квадратный корень:

\[\cos \beta = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

• б) Дано: \(\cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Найти: \(\sin \beta\). Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\). Подставляем известное значение косинуса:

\[\sin^2 \beta + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1\]

• Упрощаем:

\[\sin^2 \beta + \frac{3}{4} = 1\]

• Выражаем \(\sin^2 \beta\):

\[\sin^2 \beta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\]

• Извлекаем квадратный корень:

\[\sin \beta = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]

• в) Дано: \(\sin \beta = \frac{5}{13}\). Найти: \(\tan \beta\). Сначала найдем \(\cos \beta\) с помощью основного тригонометрического тождества:

\[\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\]

• Извлекаем квадратный корень:

\[\cos \beta = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\]

• Теперь найдем тангенс, используя определение:

\[\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}\]