№ 3. Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите синус угла, который образует гипотенуза треугольника с этой плоскостью.

Ответ: √6/4

1. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть плоскость проходит через катет AC и образует с плоскостью треугольника угол 60°. Обозначим эту плоскость как α.
2. Пусть угол между гипотенузой AB и плоскостью α равен φ. Нам нужно найти sin(φ).
3. Проведем перпендикуляр BD к плоскости α. Тогда D — проекция точки B на плоскость α. Соединим точки A и D. Тогда AD — проекция гипотенузы AB на плоскость α.
4. Угол φ — это угол между AB и AD, то есть ∠BAD.
5. Так как плоскость α проходит через катет AC, и угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 60°, то угол между катетом BC и плоскостью α равен 60°.
6. Проведем перпендикуляр BE к плоскости α. Тогда ∠BCE = 60°, и BE = BC⋅sin(60°) = a⋅sin(60°), где a - длина катета BC. Так как BC = AC, то a = AC.
7. Запишем соотношение для синуса угла φ:

\[\sin \phi = \frac{BE}{AB}\]

8. В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC, гипотенуза AB = a√2.
9. Тогда:

\[\sin \phi = \frac{BE}{AB} = \frac{a \sin 60^\circ}{a\sqrt{2}} = \frac{\sin 60^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}\]

Ответ: √6/4