№5. Угол между плоскостями треугольников АВС и ABD равен 60° градусов. Найдите CD, если АС-ВС-13 см, АВ=24см, AD=BD=15см.

Ответ: 13 см

1. Построим чертеж. Так как AC = BC = 13 см и AD = BD = 15 см, то треугольники ABC и ABD — равнобедренные.
2. Пусть M - середина стороны AB. Тогда CM перпендикулярно AB и DM перпендикулярно AB, так как M - основание высоты в равнобедренном треугольнике, проведенной к основанию.
3. Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD равен углу между перпендикулярами CM и DM, то есть ∠CMD = 60°.
4. Найдем длину CM. В прямоугольном треугольнике AMC (где ∠AMC = 90°) по теореме Пифагора имеем:

\[CM = \sqrt{AC^2 - AM^2}\] \[CM = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}.\]

5. Аналогично, в прямоугольном треугольнике AMD (где ∠AMD = 90°) по теореме Пифагора имеем:

\[DM = \sqrt{AD^2 - AM^2}\] \[DM = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ см}.\]

6. Чтобы найти CD, рассмотрим треугольник CMD, в котором CM = 5 см, DM = 9 см, и ∠CMD = 60°. Применим теорему косинусов:

Показать решение

\[CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos 60^\circ\] \[CD^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \cos 60^\circ\] \[CD^2 = 25 + 81 - 90 \cdot \frac{1}{2}\] \[CD^2 = 106 - 45 = 61\]

Ответ: 13 см