Контрольные задания > №4. Концы отрезка, длина которого равна 5/5 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов этого отрезка до линии пересечения плоскостей равны 5 см и 8 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.
Вопрос:

№4. Концы отрезка, длина которого равна 5/5 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов этого отрезка до линии пересечения плоскостей равны 5 см и 8 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 4 см

Краткое пояснение: Используем теорему Пифагора в пространстве и на плоскости.
  1. Пусть АВ - данный отрезок, где А и В - концы отрезка. Длина отрезка АВ = 5√5 см.
  2. Концы отрезка лежат на двух перпендикулярных плоскостях. Обозначим эти плоскости как α и β. Линия пересечения этих плоскостей - прямая l.
  3. Расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей равно 5 см. Это значит, что перпендикуляр, опущенный из точки А на линию l, равен 5 см. Обозначим основание этого перпендикуляра как А'.
  4. Расстояние от точки В до линии пересечения плоскостей равно 8 см. Это значит, что перпендикуляр, опущенный из точки В на линию l, равен 8 см. Обозначим основание этого перпендикуляра как В'.
  5. Нам нужно найти расстояние между основаниями перпендикуляров, то есть длину отрезка A'B'.
  6. Рассмотрим прямоугольный треугольник AA'B'B, где AA' = 5 см и BB' = 8 см. Плоскости перпендикулярны, следовательно AA' перпендикулярна BB' и перпендикулярна плоскости β.
  7. Треугольник ABA'B' прямоугольный, следовательно можно применить теорему Пифагора:
Показать решение
  1. Расстояние от А до В равно 5√5, тогда по теореме Пифагора:
\[AB^2 = (AA')^2 + (BB')^2 + (A'B')^2\] \[(5\sqrt{5})^2 = 5^2 + 8^2 + (A'B')^2\] \[125 = 25 + 64 + (A'B')^2\] \[(A'B')^2 = 125 - 25 - 64 = 36\] \[A'B' = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\]
  • Т.к. A'B' проецируется на линию l, то:
    • \[|A'B'| = \sqrt{AB^2 - (AA')^2 - (BB')^2} = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 - 5^2 - 8^2} = \sqrt{125 - 25 - 64} = \sqrt{36} = 6\]

    Ответ: 4 см

    Твой статус: Цифровой атлет

    Пока другие мучаются, ты уже на финише. Время для хобби активировано

    Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро

    ГДЗ по фото 📸
    Подать жалобу Правообладателю

    Похожие