№ 4. Докажите, что ∠A=∠C (рис.55), если известно, что AB||CD и BC||AD. № 5. В треугольнике MNF известно, что ZN=90°, <M=60°, отрезок АD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD-20 см.

Ответ: смотри решение

Решение:

1. №4.

   Так как AB || CD и BC || AD, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

   В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, ∠A = ∠C.

2. №5.

   В треугольнике MNF: ∠N = 90°, ∠M = 60°, следовательно, ∠F = 180° - 90° - 60° = 30°.

   AD - биссектриса угла M, следовательно, ∠MAD = ∠NAD = 60° / 2 = 30°.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник AND. В нем ∠NAD = 30°, значит, катет ND, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы AD.

   Таким образом, AD = 2 * ND.

   Рассмотрим треугольник ADF. В нем ∠F = 30°, ∠DAF = 30°, следовательно, треугольник ADF равнобедренный, и AD = FD = 20 см.

   Тогда ND = AD / 2 = 20 / 2 = 10 см.

   В прямоугольном треугольнике MND: ∠M = 60°, ND = 10 см.

   tg(60°) = ND / MN.

   MN = ND / tg(60°) = 10 / √3 = (10√3) / 3 см.

Ответ: смотри решение