№ 2. Как известно, девятнадцатилетний Михаил Ломоносов отправился из Холмогор (Архангельская область) в Москву для поступления в Славяно- греко-латинскую академию. Первые три дня пути он шёл, догоняя обоз, который отправился из Холмогор. Сколько километров прошёл 10 М. Ломоносов, догоняя обоз, если в первый день он преодолел 29 всего пути, 4 во второй день 5 пути, пройденного в первый день, а в третий день — остальные 66 км?

Решение:

Краткая запись:

Всего - ? км, 10/10

I день - 2/9 всего пути

II день - 4/5 от I дня

III день - 66 км

1. Пусть весь путь равен х км. Тогда в первый день М. Ломоносов прошел $$x \cdot \frac{2}{9} = \frac{2x}{9}$$ (км).
2. Во второй день он прошел $$\frac{2x}{9} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2x \cdot 4}{9 \cdot 5} = \frac{8x}{45}$$ (км).
3. В третий день он прошел 66 км. Всего он прошел 10/10 = 1 целый путь. Тогда получим уравнение:$$\frac{2x}{9} + \frac{8x}{45} + 66 = x$$
4. Приведем дроби к общему знаменателю 45: $$\frac{10x}{45} + \frac{8x}{45} + 66 = x$$
5. Сложим дроби: $$\frac{18x}{45} + 66 = x$$
6. Перенесем дробь в правую часть: $$66 = x - \frac{18x}{45}$$
7. Приведем к общему знаменателю: $$66 = \frac{45x - 18x}{45}$$
8. Вычтем: $$66 = \frac{27x}{45}$$
9. Выразим x: $$x = \frac{66 \cdot 45}{27} = \frac{2970}{27} = 110$$ (км).

Ответ: 110 километров прошёл М. Ломоносов.