№ 1. Какой наименьшей длины должна быть доска, чтобы ее можно было разрезать поперек на части, равные 20см и 27 см, не получив обрезков?

Чтобы найти наименьшую длину доски, которую можно разрезать на части по 20 см и по 27 см без обрезков, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 20 и 27.

1. Разложим каждое число на простые множители:
• 20 = 2 × 2 × 5 = 2² × 5
• 27 = 3 × 3 × 3 = 3³
2. Для нахождения НОК возьмем каждый простой множитель в наивысшей степени, в которой он встречается в разложениях чисел:
• НОК(20, 27) = 2² × 3³ × 5 = 4 × 27 × 5 = 540

Ответ: Наименьшая длина доски должна быть 540 см.