№ 4. Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 30°, а высота, проведенная к основанию, равна 10 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, угол BAC = углу BCA = 30°, и высота BH = 10 см. Нужно найти основание AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём угол BAH = 30°, а BH – противолежащий катет. Можно найти AH, используя тангенс угла BAH: \[\tan(30°) = \frac{BH}{AH}\] Известно, что \(\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому: \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{AH}\] Отсюда: \[AH = 10\sqrt{3}\] Так как треугольник ABC равнобедренный, высота BH является и медианой, поэтому AH = HC. Тогда AC = 2 * AH: \[AC = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\] Ответ: \(20\sqrt{3}\) см