№ 3. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется и испытаний (n 3 k), если в каждом из них P(A) = p.

Для решения этой задачи воспользуемся отрицательным биномиальным распределением. Отрицательное биномиальное распределение описывает вероятность того, что для наступления k-го успеха потребуется n испытаний, где каждое испытание имеет вероятность успеха p.

Формула для отрицательного биномиального распределения имеет вид:

$$P(X = n) = C_{n-1}^{k-1} * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$

где:

• $$P(X = n)$$ - вероятность того, что k-й успех произойдет на n-м испытании,
• $$C_{n-1}^{k-1}$$ - число сочетаний из n-1 по k-1,
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании,
• $$n$$ - общее число испытаний,
• $$k$$ - число успехов.

В нашей задаче:

• $$n$$ - число испытаний (n ≥ k)
• $$k$$ - число успехов
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании

Таким образом, вероятность того, что потребуется n испытаний (n ≥ k), чтобы событие A произошло k раз, равна:

$$P(X = n) = C_{n-1}^{k-1} * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$

Ответ: $$C_{n-1}^{k-1} * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$