№ 2. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Для решения этой задачи нам нужно найти вероятность того, что число удачных выстрелов из 20 будет 16, 17, 18 или 19. Используем формулу Бернулли:

$$P_n(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$

где:

• $$P_n(k)$$ - вероятность $$k$$ успехов в $$n$$ испытаниях,
• $$C_n^k$$ - число сочетаний из $$n$$ по $$k$$,
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании,
• $$n$$ - общее число испытаний,
• $$k$$ - число успехов.

В данной задаче:

• $$n = 20$$ (общее число выстрелов)
• $$p = 0.9$$ (вероятность поражения цели при одном выстреле)

Нам нужно найти:

$$P(16 \leq k \leq 19) = P_{20}(16) + P_{20}(17) + P_{20}(18) + P_{20}(19)$$.

1. $$P_{20}(16) = C_{20}^{16} * (0.9)^{16} * (0.1)^{4}$$
2. $$P_{20}(17) = C_{20}^{17} * (0.9)^{17} * (0.1)^{3}$$
3. $$P_{20}(18) = C_{20}^{18} * (0.9)^{18} * (0.1)^{2}$$
4. $$P_{20}(19) = C_{20}^{19} * (0.9)^{19} * (0.1)^{1}$$

Вычислим каждое слагаемое:

1. $$C_{20}^{16} = \frac{20!}{16! * 4!} = \frac{20*19*18*17}{4*3*2*1} = 4845$$
2. $$C_{20}^{17} = \frac{20!}{17! * 3!} = \frac{20*19*18}{3*2*1} = 1140$$
3. $$C_{20}^{18} = \frac{20!}{18! * 2!} = \frac{20*19}{2*1} = 190$$
4. $$C_{20}^{19} = \frac{20!}{19! * 1!} = \frac{20}{1} = 20$$

Теперь вычислим вероятности:

1. $$P_{20}(16) = 4845 * (0.9)^{16} * (0.1)^{4} = 4845 * 0.1853 * 0.0001 \approx 0.0898$$
2. $$P_{20}(17) = 1140 * (0.9)^{17} * (0.1)^{3} = 1140 * 0.1668 * 0.001 \approx 0.1901$$
3. $$P_{20}(18) = 190 * (0.9)^{18} * (0.1)^{2} = 190 * 0.1501 * 0.01 \approx 0.2852$$
4. $$P_{20}(19) = 20 * (0.9)^{19} * (0.1)^{1} = 20 * 0.1351 * 0.1 \approx 0.2702$$

Суммируем полученные вероятности:

$$P(16 \leq k \leq 19) = 0.0898 + 0.1901 + 0.2852 + 0.2702 = 0.8353$$

Ответ: 0.8353