№ 4. Определите отношение длин математических маятников, если за одно и то же время первый из них совершает 20 колебаний, а второй 10 колебаний?

Период колебаний математического маятника: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$.

Количество колебаний: $$n = \frac{t}{T}$$, где t - время, T - период колебаний.

Выразим период через количество колебаний: $$T = \frac{t}{n}$$.

Подставим в формулу периода колебаний маятника: $$\frac{t}{n} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$.

Выразим длину маятника: $$l = \frac{g t^2}{4\pi^2 n^2}$$.

Отношение длин маятников: $$\frac{l_1}{l_2} = \frac{\frac{g t^2}{4\pi^2 n_1^2}}{\frac{g t^2}{4\pi^2 n_2^2}} = \frac{n_2^2}{n_1^2}$$.

Подставим значения: $$\frac{l_1}{l_2} = \frac{10^2}{20^2} = \frac{100}{400} = \frac{1}{4}$$.

Ответ: 1:4