№ 1. Основание прямого параллелепипеда ромб с диагоналями 10 см и 24 см. меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол B 45° Найдите пл площадь полной поверхности параллелепипеда.

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна \(400 + 240\sqrt{2}\) см²

1. Шаг 1: Находим сторону ромба

Меньшая диагональ ромба равна 10 см, большая - 24 см. Угол между меньшей диагональю и плоскостью основания равен 45°. Обозначим сторону ромба как \(a\). Половина меньшей диагонали равна 5 см, а половина большей диагонали равна 12 см. Тогда по теореме Пифагора:
\[a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}\]

2. Шаг 2: Находим высоту параллелепипеда

Высота параллелепипеда \(h\) может быть найдена из соотношения с углом 45°:
\[h = 10 \cdot \sin(45°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}\]

3. Шаг 3: Находим площадь основания параллелепипеда

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2\]

4. Шаг 4: Находим площадь боковой поверхности параллелепипеда

Периметр ромба равен:
\[P = 4a = 4 \cdot 13 = 52 \text{ см}\]Площадь боковой поверхности:
\[S_{\text{бок}} = P \cdot h = 52 \cdot 5\sqrt{2} = 260\sqrt{2} \text{ см}^2\]

5. Шаг 5: Находим площадь полной поверхности параллелепипеда

Площадь полной поверхности равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:
\[S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 120 + 260\sqrt{2} = 240 + 260\sqrt{2} \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна \(240 + 260\sqrt{2}\) см²