№ 3. В основании четырехугольной пирамиды SABCD (точка О центр основания, S вершина) лежит прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, SO = 4. Найти площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 70 см², площадь полной поверхности пирамиды равна 118 см²

1. Шаг 1: Найдем апофемы боковых граней

В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, а высота пирамиды равна 4 см. Рассмотрим боковые грани пирамиды. Для граней, опирающихся на стороны длиной 6 см, апофема \(h_1\) равна:
\[h_1 = \sqrt{4^2 + (8/2)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}\]Для граней, опирающихся на стороны длиной 8 см, апофема \(h_2\) равна:
\[h_2 = \sqrt{4^2 + (6/2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\]

2. Шаг 2: Найдем площади боковых граней

Площадь каждой боковой грани, опирающейся на сторону длиной 6 см:
\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15 \text{ см}^2\]Площадь каждой боковой грани, опирающейся на сторону длиной 8 см:
\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2\]

3. Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней:
\[S_{\text{бок}} = 2S_1 + 2S_2 = 2 \cdot 15 + 2 \cdot 16\sqrt{2} = 30 + 32\sqrt{2} \approx 75.25 \text{ см}^2\]

4. Шаг 4: Найдем площадь основания пирамиды

Площадь основания равна произведению длин его сторон:
\[S_{\text{осн}} = 6 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2\]

5. Шаг 5: Найдем площадь полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 48 + 30 + 32\sqrt{2} = 78 + 32\sqrt{2} \approx 123.25 \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна \(30 + 32\sqrt{2}\) см², площадь полной поверхности пирамиды равна \(78 + 32\sqrt{2}\) см²