№ 4. Решите уравнение (х-4)(x-3)(x-2)(x-1) = 840

Для решения этого уравнения, сгруппируем множители следующим образом: $$ (x-4)(x-1)(x-3)(x-2) = 840 $$ Перемножим скобки: $$ (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 840 $$ Сделаем замену переменной: пусть $$y = x^2 - 5x$$. Тогда уравнение примет вид: $$ (y + 4)(y + 6) = 840 $$ Раскроем скобки: $$ y^2 + 10y + 24 = 840 $$ $$ y^2 + 10y - 816 = 0 $$ Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант равен: $$ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-816) = 100 + 3264 = 3364 = 58^2 $$ Корни квадратного уравнения: $$ y_1 = \frac{-10 + 58}{2} = \frac{48}{2} = 24 $$ $$ y_2 = \frac{-10 - 58}{2} = \frac{-68}{2} = -34 $$ Теперь вернемся к замене $$y = x^2 - 5x$$ и решим два уравнения: 1) $$x^2 - 5x = 24$$ $$ x^2 - 5x - 24 = 0 $$ $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$ $$ x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$ 2) $$x^2 - 5x = -34$$ $$ x^2 - 5x + 34 = 0 $$ $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (34) = 25 - 136 = -111 $$ Так как дискриминант отрицательный, то это уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, решения исходного уравнения: Ответ: x = 8, x = -3