№ 1. Рисунок 1. Вариант 2. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) МК; б) РЕ: NK; B) SMEP: SMKN

a) Рассмотрим треугольники MPE и MKN. Угол M - общий, угол MPE = углу MKN (соответственные углы при PE || NK и секущей MK). Следовательно, треугольники MPE и MKN подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{6}{MK} = \frac{8}{12} $$ $$ MK = \frac{6 \times 12}{8} = \frac{72}{8} = 9 $$

MK = 9

б) Найдем отношение PE : NK

Из подобия треугольников MPE и MKN следует:

$$ \frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} $$

Так как МК = 9, то

$$ \frac{PE}{NK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$

в) Найдем отношение SMEP : SMKN

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = (\frac{ME}{MK})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} $$

Ответ: a) MK = 9; б) PE : NK = 2/3; в) SMEP : SMKN = 4/9