№ 3. Серединные перпендикуляры к сторонам MP и PK треугольника MPK пересекаются в точке A стороны MK. Докажите, что ∠P = ∠M + ∠K.

Доказательство: 1. Поскольку точка A является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам MP и PK, то она является центром описанной окружности треугольника MPK. Это означает, что AM = AP = AK как радиусы описанной окружности. 2. Треугольники AMP и AKP – равнобедренные, так как AM = AP и AP = AK. 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠AMP = ∠APM и ∠AKP = ∠APK. 4. Пусть ∠AMP = ∠APM = α и ∠AKP = ∠APK = β. 5. Сумма углов в треугольнике MPK равна 180°: ∠M + ∠P + ∠K = 180° 6. ∠M = α, ∠K = β, a ∠P состоит из двух углов: ∠APM и ∠APK, то есть ∠P = α + β. 7. Подставим в уравнение суммы углов: α + (α + β) + β = 180° 8. Тогда ∠P = ∠M + ∠K, так как α + β = α + β. Что и требовалось доказать.