№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD(рис.63). Докажите, что AC = AD.

Рассмотрим окружность с центром O, диаметром AB и хордами AC и AD.

Дано: ∠BAC = ∠BAD.

Доказать: AC = AD.

Доказательство:

Т.к. AB - диаметр, то ∠ACB = 90° и ∠ADB = 90° (как вписанные углы, опирающиеся на диаметр).

Рассмотрим треугольники ABC и ABD:

• AB - общая сторона
• ∠BAC = ∠BAD (по условию)
• ∠ACB = ∠ADB = 90°

Следовательно, треугольники ABC и ABD равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC = AD.

Что и требовалось доказать.