№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK. Докажите, что \(\angle MNK = \angle MNF\).

Дано: Окружность с центром O, диаметр MN, хорды NF и NK, NF = NK. Доказать: \(\angle MNK = \angle MNF\). Доказательство: 1. Так как NF = NK, треугольник NFK – равнобедренный с основанием FK. Следовательно, \(\angle NFK = \angle NKF\). 2. Углы \(\angle MNK\) и \(\angle MNF\) – вписанные углы, опирающиеся на хорды NK и NF соответственно. 3. Рассмотрим углы \(\angle NKM\) и \(\angle NFM\). Так как MN – диаметр, то \(\angle NKM\) и \(\angle NFM\) – прямые углы (вписанные углы, опирающиеся на диаметр). Следовательно, \(\angle NKM = 90^\circ\) и \(\angle NFM = 90^\circ\). 4. Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle MNK\) и \(\triangle MNF\). В обоих треугольниках один из углов прямой (\(\angle NKM\) и \(\angle NFM\)), и они имеют общую сторону MN. Также, мы знаем, что NF = NK (по условию). 5. Рассмотрим углы \(\angle KMN\) и \(\angle FMN\). Мы знаем, что \(\angle NKF = \angle NFK\) (из пункта 1). Также, поскольку \(\angle NKM = \angle NFM = 90^\circ\), углы \(\angle MNK\) и \(\angle MNF\) являются острыми углами в прямоугольных треугольниках \(\triangle MNK\) и \(\triangle MNF\) соответственно. 6. Так как дуги NK и NF равны (поскольку NF = NK), то вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны. Таким образом, \(\angle MNK = \angle MNF\). Что и требовалось доказать.